题目
编写程序，使用经典显式 Runge-Kutta $(4, 5)$ 阶自适应步长算法 <code>ode45()</code> 求解典型一阶常微分方程初值问题（ODE IVP）：$\frac{dy}{dt} = -2y$，初始条件 $y(0) = 5$，求解区间 $t \in [0, 2]$；并将数值解与解析精确解 $y(t) = 5e^{-2t}$ 逐点对比误差。
输入格式：无需外部输入。
输出格式：输出 ode45 自动选取的积分步数、端点数值解及最大绝对误差。
数据范围与约定：常微分方程数值求解。
思路与算法
1. ODE 标准形式
函数句柄必须写成 @(t, y) f(t, y) 形式，必须接受两输入参数（即使导数不显含时间 $t$）。
2. ode45 机制
MATLAB / Octave 的主力求解器，具备自适应变步长控制，在导数平缓区增大步长，在剧烈区缩小步长，精度与速度平衡极高。
3. 精度与稳定性
Runge-Kutta 截断误差为五阶，对于非刚性（Non-stiff）系统具有极高可信度。
完整程序
% Octave / MATLAB 第99题：ode45 常微分方程求解
% 定义微分方程 dy/dt = -2y
dydt = @(t, y) -2 * y;
tspan = [0, 2];
y0 = 5;
% 调用 ode45 积分求解
[t_out, y_out] = ode45(dydt, tspan, y0);
% 计算理论精确解: y_exact = 5 * exp(-2*t)
y_exact = 5 * exp(-2 * t_out);
max_err = max(abs(y_out - y_exact));
fprintf("求解问题: dy/dt = -2y, y(0)=5, t in [0, 2]\n");
fprintf("ode45 自适应迭代步数: %d 步\n", length(t_out));
fprintf("终点 t=2.0 处数值解: %.6f\n", y_out(end));
fprintf("终点 t=2.0 理论真值: %.6f\n", y_exact(end));
fprintf("全区间最大绝对误差: %.2e (达自适应容差精度)\n", max_err);运行示例
输出：
求解问题: dy/dt = -2y, y(0)=5, t in [0, 2]
ode45 自适应迭代步数: 49 步
终点 t=2.0 处数值解: 0.091580
终点 t=2.0 理论真值: 0.091578
全区间最大绝对误差: 1.11e-05 (达自适应容差精度)