等幂数列计算器

等幂数列计算器介绍

等幂数列计算器可以计算从 1 到 n 的 k 次幂之和，公式如下：Sk(n) = 1ᵏ + 2ᵏ + 3ᵏ + ⋯ + nᵏ。

常见等幂数列求和公式

• 幂次 (k) = 0，零次幂和：S0(n) = n
• k = 1，自然数和（一次幂和）：S1(n) = n(n+1)⁄2
• k = 2，平方和（二次幂和）：S2(n) = n(n+1)(2n+1)⁄6
• k = 3，立方和（三次幂和）：S3(n) = [n(n+1)⁄2]²
• k = 4，四次幂和：S4(n) = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)⁄30
• k = 5，五次幂和：S5(n) = n²(n+1)²(2n²+2n-1)⁄12

一般情况下的求和公式

通用公式（使用伯努利数）：Sk(n) = 1/(k+1) Σⱼ₌₀ᵏ C(k+1, j) Bⱼ n^(k+1-j)，其中 Bⱼ 是伯努利数，C(k+1, j) 是组合数。

递推公式：(k+1)Sk(n) = (n+1)^(k+1) - 1 - Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ C(k+1, i) Si(n)，这个递推公式可以用来计算更高次的幂和。

伯努利数表（前几项）

• n=0：B0 = 1
• n=1：B1 = -1/2
• n=2：B2 = 1/6
• n=4：B4 = -1/30
• n=6：B6 = 1/42
• n=8：B8 = -1/30
• n=10：B10 = 5/66