Octave / MATLAB 第44题：解一元二次方程（讨论判别式实根、重根与共轭虚根）

题目

求解一元二次方程 $a x^2 + b x + c = 0$。从标准输入读入 $a, b, c$（$a \neq 0$），计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$。根据 $\Delta > 0$（两不等实根）、$\Delta = 0$（两相等实根）与 $\Delta < 0$（一对共轭复数虚根）分流输出精确解。

输入格式：一行输入 3 个浮点数，分别代表 a, b, c。

输出格式：输出根的类型说明及具体的解数值（虚根按 a ± bi 格式输出）。

数据范围与约定：实数系数，a 不为零。

思路与算法

1. 二次项系数 a 防零
若 $a=0$，方程退化为一元一次方程，必须先防御拦截。

2. 判别式浮点容差
判断重根时，计算机浮点数极难严格等于 0，应使用 abs(delta) < 1e-12。

3. 虚根格式化解析
当 $\Delta < 0$ 时，实部为 $-b/(2a)$，虚部为 $\sqrt{|\Delta|}/(2a)$。虽然 Octave 的 sqrt(delta) 原生支持复数开方，但在分支逻辑中显式按实虚部格式化输出更为清晰。

完整程序

% Octave / MATLAB 第44题：一元二次方程根讨论
[params, count] = scanf("%f", 3);

if count < 3
    fprintf("错误：需输入 a, b, c 三个系数。\n");
    return;
end

a = params(1);
b = params(2);
c = params(3);

if abs(a) < 1e-12
    fprintf("错误：二次项系数 a 不能为 0（方程退化为线性方程）。\n");
    return;
end

delta = b^2 - 4 * a * c;
fprintf("判别式 Delta = %.4f\n", delta);

if delta > 1e-12
    % 两个不等实根
    x1 = (-b + sqrt(delta)) / (2 * a);
    x2 = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a);
    fprintf("情况: 两个不相等实根\n");
    fprintf("x1 = %.4f, x2 = %.4f\n", x1, x2);
elseif abs(delta) <= 1e-12
    % 两个相等实根 (重根)
    x = -b / (2 * a);
    fprintf("情况: 两个相等实根 (重根)\n");
    fprintf("x1 = x2 = %.4f\n", x);
else
    % 一对共轭复数根
    real_part = -b / (2 * a);
    imag_part = sqrt(-delta) / (2 * a);
    fprintf("情况: 一对共轭虚根\n");
    fprintf("x1 = %.4f + %.4fi\n", real_part, abs(imag_part));
    fprintf("x2 = %.4f - %.4fi\n", real_part, abs(imag_part));
end

运行示例

示例 1：

输入：

1 -5 6

输出：

判别式 Delta = 1.0000
情况: 两个不相等实根
x1 = 3.0000, x2 = 2.0000

示例 2：

输入：

1 -2 1

输出：

判别式 Delta = 0.0000
情况: 两个相等实根 (重根)
x1 = x2 = 1.0000

示例 3：

输入：

1 2 5

输出：

判别式 Delta = -16.0000
情况: 一对共轭虚根
x1 = -1.0000 + 2.0000i
x2 = -1.0000 - 2.0000i