Octave / MATLAB 第81题：多项式系数向量表示与求值（polyval 用法）

题目

在 MATLAB / Octave 中，多项式按降幂排列的系数向量表示。给定三次多项式 $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7$，编写程序，使用 <code>polyval()</code> 计算其在一组自变量点上的函数值。

输入格式：无需外部输入。

输出格式：输出多项式系数定义与在各个测试点上的计算结果。

数据范围与约定：多项式计算基础。

思路与算法

1. 降幂系数向量规则
最高次项排在最左边，常数项排在最右边。例如 $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7$ 对应向量 p = [3, -2, 5, -7]。缺项必须补 0（如 $x^2 - 1$ 为 [1, 0, -1]）。

2. polyval 函数
y = polyval(p, x) 支持传入标量或任意多维向量，内部采用高效的 Horner 算法计算。

3. 与直接算术式对照
polyval(p, x) 避免了手写多个乘方运算符带来的繁琐与漏写点乘风险。

完整程序

% Octave / MATLAB 第81题：多项式系数表示与 polyval 求值
% 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7
p = [3, -2, 5, -7];

% 自变量采样点
x = [0, 1, 2, -1];

% 使用 polyval 计算
y = polyval(p, x);

fprintf("多项式系数向量: %s\n", mat2str(p));
fprintf("对应解析式: P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7\n");
for k = 1:length(x)
    fprintf("  P(%2d) = %d\n", x(k), y(k));
end

运行示例

输出：

多项式系数向量: [3 -2 5 -7]
对应解析式: P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7
  P( 0) = -7
  P( 1) = -1
  P( 2) = 19
  P(-1) = -17