MATLAB 数值求解

本节介绍 MATLAB 中几类常见数值问题：一元方程求根、多项式求根、定积分、区间上的函数最小值，以及线性方程组 Ax = b。当解析解难以手算时，可调用对应的数值函数得到近似结果。传给这些求解器的第一个参数通常是函数句柄（可调用对象），而不是某一次求值得到的标量；匿名函数的写法见匿名函数。

求方程根：fzero

求 sin(x) - x/2 = 0 在 x=1 附近的正根。先把方程左端写成关于 x 的函数。该方程在 x=0 处也有根；若只给标量初值 1，部分实现会收敛到 0。给定函数值异号的区间 [1 3]，则可得到正根：

f = @(x) sin(x) - x/2;
root = fzero(f, [1 3])

root = 1.8955

fzero(函数句柄, 区间) 在两端取样并迭代。第一个参数必须是函数本身：写成 fzero(sin(1)-1/2, [1 3]) 传入的是已经算完的数，求解器无法再换不同的 x 取样。两端函数值宜异号，否则可能找不到根。第二个参数也可以是标量初值，此时求解器自行搜索区间，结果依赖于实现，不一定落在你预期的那一个根上。

若方程有多个根，一次调用只返回区间或初值附近的一个。换一组初值或区间再求，才能得到其它根。

多项式求根：roots

多项式有固定的系数向量，不必再写匿名函数。解 2x^2 + 4x - 4 = 0 时，把系数从高次到低次排成一行：

p = [2 4 -4];
r = roots(p)

r =
  -2.7321
   0.7321

最高次项系数为 2，一次项为 4，常数项为 -4，两根为 -1±√3。屏幕上的先后顺序依实现而定，不必与上表逐行相同。缺某一幂次时须用 0 占位，例如 x^3 + 1 写成 [1 0 0 1]。由根还原系数用 poly：

poly(r)

得到的向量与原系数成比例（可能差一个常数倍），次数应与原来一致。

求数值积分：integral

计算从 0 到 1 的 x^2 定积分。被积函数作用在求解器给出的一批采样点上，乘方须用点运算 .^：

area = integral(@(x) x.^2, 0, 1)

area = 0.3333

精确值是 1/3 ≈ 0.3333。积分限为有限数时，integral(函数句柄, a, b) 即可。二维、三维积分可用 integral2、integral3。若当前环境没有 integral，可查阅帮助中的 quad 等同类函数。

求最小值：fminbnd / fminsearch

在给定闭区间上找一元函数的最小值点，使用 fminbnd。下面在 [0, 3] 上求 cos(x) 的最小点：

[xmin, fmin] = fminbnd(@(x) cos(x), 0, 3)

xmin = 3.1416
fmin = -1.0000

找到的 x 约等于 π，函数值约 -1。第一个输出是自变量，第二个是该处的函数值。fminbnd 只处理单变量且必须给出区间；无约束或多变量问题更常用 fminsearch，例如：

[x2, f2] = fminsearch(@(x) (x(1)-1)^2 + (x(2)+2)^2, [0 0])

初值 [0 0] 是二维点，目标函数应返回标量。得到的 x 应接近 (1, -2)，函数值接近 0。

解方程组：矩阵左除

线性方程组 Ax = b 用左除 A\b，不必先求逆：

f = @(x) sin(x) - x/2;
disp(fzero(f, [1 3]))
p = [2 4 -4];
disp(roots(p))
A = [2 3; 1 1];
b = [8; 3];
disp(A \ b)

输出：

1.8955
  -2.7321
   0.7321
   1
   2

上例中方程组为 2x+3y=8、x+y=3，解为 x=1、y=2。应使用 A\b 而不是 inv(A)*b：左除会按方程组结构选择更稳妥的算法，也避免显式求逆带来的额外误差。系数矩阵接近奇异时，结果可能对微小扰动敏感，求解后可将 A*x - b 的范数作为残差检查。

数值与符号

本教程其余章节均按数值计算展开。符号工具箱与常微分方程求解器超出入门范围，需要时再查阅对应帮助。

动手练习

• 用 fzero 求 cos(x) - x = 0 在 0 附近的根。
• 用 roots 解 x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0，系数向量不要漏写缺项。
• 用 integral 求 sin(x) 从 0 到 π 的积分（应接近 2）。
• 用 fminbnd 找 sin(x)+x 在 [0, 2π] 上的最小值点。

本节说明了 fzero、roots、integral、fminbnd 与矩阵左除在数值求解中的角色，并对照符号计算与常微分方程求解器的适用边界。下一节介绍字符串类型与编程习惯：char 与 string 的差异及向量化等实践建议。