Calcolatore di somme di potenze

Informazioni sul calcolatore di somme di potenze

Il calcolatore di somme di potenze calcola la somma delle k-esime potenze da 1 a n: Sk(n) = 1ᵏ + 2ᵏ + 3ᵏ + ⋯ + nᵏ.

Formule comuni delle somme

• Potenza (k) = 0, somma delle potenze zero: S0(n) = n
• k = 1, somma dei numeri naturali: S1(n) = n(n+1)/2
• k = 2, somma dei quadrati: S2(n) = n(n+1)(2n+1)/6
• k = 3, somma dei cubi: S3(n) = [n(n+1)/2]²
• k = 4, somma delle quarte potenze: S4(n) = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30
• k = 5, somma delle quinte potenze: S5(n) = n²(n+1)²(2n²+2n-1)/12

Formula generale

Formula generale (con i numeri di Bernoulli): Sk(n) = 1/(k+1) Σⱼ₌₀ᵏ C(k+1, j) Bⱼ n^(k+1-j), dove Bⱼ sono i numeri di Bernoulli e C(k+1, j) i coefficienti binomiali.

Formula ricorsiva: (k+1)Sk(n) = (n+1)^(k+1) - 1 - Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ C(k+1, i) Si(n). Con questa si possono calcolare somme di potenze di ordine superiore.

Numeri di Bernoulli (primi valori)

• n=0: B0 = 1
• n=1: B1 = -1/2
• n=2: B2 = 1/6
• n=4: B4 = -1/30
• n=6: B6 = 1/42
• n=8: B8 = -1/30
• n=10: B10 = 5/66