등차수열 계산기

거듭제곱 차수 (k):

항수 (n):

계산 단계

등멱수열 계산기 소개

등멱수열 계산기는 1부터 n까지의 k제곱의 합을 계산할 수 있습니다. 공식은 다음과 같습니다: Sk(n) = 1ᵏ + 2ᵏ + 3ᵏ + ⋯ + nᵏ.

지수(k) = 0, 0제곱의 합: S0(n) = n
k = 1, 자연수의 합(1제곱의 합): S1(n) = n(n+1)/2
k = 2, 제곱의 합(2제곱의 합): S2(n) = n(n+1)(2n+1)/6
k = 3, 세제곱의 합(3제곱의 합): S3(n) = [n(n+1)/2]²
k = 4, 4제곱의 합: S4(n) = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30
k = 5, 5제곱의 합: S5(n) = n²(n+1)²(2n²+2n-1)/12

일반 공식(베르누이 수 사용): Sk(n) = 1/(k+1) Σⱼ₌₀ᵏ C(k+1, j) Bⱼ n^(k+1-j). 여기서 Bⱼ는 베르누이 수, C(k+1, j)는 조합 수입니다.

점화식: (k+1)Sk(n) = (n+1)^(k+1) - 1 - Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ C(k+1, i) Si(n). 이 점화식을 사용하여 더 높은 차수의 멱합을 계산할 수 있습니다.