等冪數列計算器

等冪數列計算機介紹

等冪數列計算機能計算 1 到 n 的 k 次方和，公式如下：Sk(n) = 1ᵏ + 2ᵏ + 3ᵏ + ⋯ + nᵏ。

常見等冪數列求和公式

• 冪次（k）= 0，零次方和：S0(n) = n
• k = 1，自然數和（一次方和）：S1(n) = n(n+1)/2
• k = 2，平方和（二次方和）：S2(n) = n(n+1)(2n+1)/6
• k = 3，立方和（三次方和）：S3(n) = [n(n+1)/2]²
• k = 4，四次方和：S4(n) = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30
• k = 5，五次方和：S5(n) = n²(n+1)²(2n²+2n-1)/12

一般情況的求和公式

一般公式（使用伯努利數）：Sk(n) = 1/(k+1) Σⱼ₌₀ᵏ C(k+1, j) Bⱼ n^(k+1-j)，其中 Bⱼ 為伯努利數，C(k+1, j) 為組合數。

遞推式：(k+1)Sk(n) = (n+1)^(k+1) - 1 - Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ C(k+1, i) Si(n)。可利用此遞推式計算更高階的冪和。

伯努利數表（前幾個）

• n=0：B0 = 1
• n=1：B1 = -1/2
• n=2：B2 = 1/6
• n=4：B4 = -1/30
• n=6：B6 = 1/42
• n=8：B8 = -1/30
• n=10：B10 = 5/66