等冪數列計算器
計算結果
計算步驟
等冪數列計算器介紹
等冪數列計算器可以計算從1到n的k次冪之和，公式如下：
Sk(n) = 1k + 2k + 3k + ⋯ + nk
常見等冪數列求和公式
| 冪次 (k) | 名稱 | 求和公式 |
|---|---|---|
| 0 | 零次冪和 | S0(n) = n |
| 1 | 自然數和（一次冪和） | S1(n) = n(n+1)⁄2 |
| 2 | 平方和（二次冪和） | S2(n) = n(n+1)(2n+1)⁄6 |
| 3 | 立方和（三次冪和） | S3(n) = [n(n+1)⁄2]2 |
| 4 | 四次冪和 | S4(n) = n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)⁄30 |
| 5 | 五次冪和 | S5(n) = n2(n+1)2(2n2+2n-1)⁄12 |
一般情況下的求和公式
通用公式（使用伯努利數）：
Sk(n) = 1⁄k+1 ∑j=0k C(k+1,j) Bj nk+1-j
其中 Bj 是伯努利數，C(k+1,j) 是組合數
遞迴公式
(k+1)Sk(n) = (n+1)k+1 - 1 - ∑i=0k-1 C(k+1,i) Si(n)
這個遞迴公式可以用來計算更高次的冪和
伯努利數表（前幾項）
| n | Bn |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | -1/2 |
| 2 | 1/6 |
| 4 | -1/30 |
| 6 | 1/42 |
| 8 | -1/30 |
| 10 | 5/66 |