等冪数列計算機

等冪数列計算機の紹介

等冪数列計算機は、1 から n までの k 乗の和を計算できます。公式は次の通りです：Sk(n) = 1ᵏ + 2ᵏ + 3ᵏ + ⋯ + nᵏ。

一般的な等冪数列の和の公式

• 冪（k）= 0、ゼロ乗の和：S0(n) = n
• k = 1、自然数の和（1乗の和）：S1(n) = n(n+1)⁄2
• k = 2、平方の和（2乗の和）：S2(n) = n(n+1)(2n+1)⁄6
• k = 3、立方の和（3乗の和）：S3(n) = [n(n+1)⁄2]²
• k = 4、4乗の和：S4(n) = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)⁄30
• k = 5、5乗の和：S5(n) = n²(n+1)²(2n²+2n-1)⁄12

一般的な場合の和の公式

一般公式（ベルヌーイ数を使用）：Sk(n) = 1/(k+1) Σⱼ₌₀ᵏ C(k+1, j) Bⱼ n^(k+1-j)。ここで Bⱼ はベルヌーイ数、C(k+1, j) は組み合わせ数です。

漸化式：(k+1)Sk(n) = (n+1)^(k+1) - 1 - Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ C(k+1, i) Si(n)。この漸化式を使用してより高次の冪和を計算できます。

ベルヌーイ数の表（最初のいくつか）

• n=0：B0 = 1
• n=1：B1 = -1/2
• n=2：B2 = 1/6
• n=4：B4 = -1/30
• n=6：B6 = 1/42
• n=8：B8 = -1/30
• n=10：B10 = 5/66