等冪数列計算機
計算結果
計算手順
等冪数列計算機の紹介
等冪数列計算機は、1からnまでのk乗の和を計算します。公式は以下の通りです：
Sk(n) = 1k + 2k + 3k + ⋯ + nk
一般的な等冪数列の和の公式
| 冪乗 (k) | 名称 | 和の公式 |
|---|---|---|
| 0 | 零乗和 | S0(n) = n |
| 1 | 自然数の和（一乗和） | S1(n) = n(n+1)⁄2 |
| 2 | 平方和（二乗和） | S2(n) = n(n+1)(2n+1)⁄6 |
| 3 | 立方和（三乗和） | S3(n) = [n(n+1)⁄2]2 |
| 4 | 四乗和 | S4(n) = n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)⁄30 |
| 5 | 五乗和 | S5(n) = n2(n+1)2(2n2+2n-1)⁄12 |
一般の場合の和の公式
一般公式（ベルヌーイ数を使用）：
Sk(n) = 1⁄k+1 ∑j=0k C(k+1,j) Bj nk+1-j
ここで Bj はベルヌーイ数、C(k+1,j) は組み合わせ数です
漸化式
(k+1)Sk(n) = (n+1)k+1 - 1 - ∑i=0k-1 C(k+1,i) Si(n)
この漸化式は、より高次の冪乗和を計算するために使用できます
ベルヌーイ数表（最初のいくつか）
| n | Bn |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | -1/2 |
| 2 | 1/6 |
| 4 | -1/30 |
| 6 | 1/42 |
| 8 | -1/30 |
| 10 | 5/66 |