Calculadora de Sumas de Potencias Iguales

Información sobre la calculadora de sumas de potencias

La calculadora de sumas de potencias calcula la suma de las k-ésimas potencias desde 1 hasta n: Sk(n) = 1ᵏ + 2ᵏ + 3ᵏ + ⋯ + nᵏ.

Fórmulas comunes de sumas

• Potencia (k) = 0, suma de potencias cero: S0(n) = n
• k = 1, suma de números naturales: S1(n) = n(n+1)/2
• k = 2, suma de cuadrados: S2(n) = n(n+1)(2n+1)/6
• k = 3, suma de cubos: S3(n) = [n(n+1)/2]²
• k = 4, suma de cuartas potencias: S4(n) = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30
• k = 5, suma de quintas potencias: S5(n) = n²(n+1)²(2n²+2n-1)/12

Fórmula general

Fórmula general (con los números de Bernoulli): Sk(n) = 1/(k+1) Σⱼ₌₀ᵏ C(k+1, j) Bⱼ n^(k+1-j), donde Bⱼ son los números de Bernoulli y C(k+1, j) los coeficientes binomiales.

Fórmula recursiva: (k+1)Sk(n) = (n+1)^(k+1) - 1 - Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ C(k+1, i) Si(n). Con ella se pueden calcular sumas de potencias de orden superior.

Números de Bernoulli (primeros valores)

• n=0: B0 = 1
• n=1: B1 = -1/2
• n=2: B2 = 1/6
• n=4: B4 = -1/30
• n=6: B6 = 1/42
• n=8: B8 = -1/30
• n=10: B10 = 5/66