Калькулятор степенных сумм

О калькуляторе сумм степеней

Калькулятор сумм степеней вычисляет сумму k-х степеней от 1 до n: Sk(n) = 1ᵏ + 2ᵏ + 3ᵏ + ⋯ + nᵏ.

Распространённые формулы сумм

• Степень (k) = 0, сумма нулевых степеней: S0(n) = n
• k = 1, сумма натуральных чисел: S1(n) = n(n+1)/2
• k = 2, сумма квадратов: S2(n) = n(n+1)(2n+1)/6
• k = 3, сумма кубов: S3(n) = [n(n+1)/2]²
• k = 4, сумма четвёртых степеней: S4(n) = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30
• k = 5, сумма пятых степеней: S5(n) = n²(n+1)²(2n²+2n-1)/12

Общая формула

Общая формула (с числами Бернулли): Sk(n) = 1/(k+1) Σⱼ₌₀ᵏ C(k+1, j) Bⱼ n^(k+1-j), где Bⱼ — числа Бернулли, а C(k+1, j) — биномиальные коэффициенты.

Рекуррентная формула: (k+1)Sk(n) = (n+1)^(k+1) - 1 - Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ C(k+1, i) Si(n). С её помощью можно вычислить суммы степеней более высокого порядка.

Числа Бернулли (первые несколько)

• n=0: B0 = 1
• n=1: B1 = -1/2
• n=2: B2 = 1/6
• n=4: B4 = -1/30
• n=6: B6 = 1/42
• n=8: B8 = -1/30
• n=10: B10 = 5/66