Калькулятор степенных сумм

Степень (k):

Количество членов (n):

Шаги вычисления

Описание калькулятора степенных сумм

Калькулятор степенных сумм вычисляет сумму k-х степеней от 1 до n по формуле:

S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + ⋯ + n^k

Степень (k)	Название	Формула суммы
0	Сумма нулевых степеней	S₀(n) = n
1	Сумма натуральных чисел (первая степень)	S₁(n) = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂
2	Сумма квадратов (вторая степень)	S₂(n) = ^n(n+1)(2n+1)⁄₆
3	Сумма кубов (третья степень)	S₃(n) = [ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂]²
4	Сумма четвёртых степеней	S₄(n) = ^{n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)}⁄₃₀
5	Сумма пятых степеней	S₅(n) = ^{n²(n+1)²(2n²+2n-1)}⁄₁₂

Общая формула (с использованием чисел Бернулли):

S_k(n) = ¹⁄_k+1 ∑_j=0^k C(k+1,j) B_j n^k+1-j

где B_j — числа Бернулли, C(k+1,j) — биномиальные коэффициенты

(k+1)S_k(n) = (n+1)^k+1 - 1 - ∑_i=0^k-1 C(k+1,i) S_i(n)

Эта рекуррентная формула может использоваться для вычисления сумм более высоких степеней